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2.3.8 PCA——什么是主成分

《深度学习与计算机视觉:算法原理、框架应用与代码实现》第2章 深度学习和计算机视觉中的基础数学知识,本章会尽量从定性的角度讲解一些与深度学习、计算视觉紧密联系的基础数学概念,不一定会很严谨细致,但力求简单、形象。本节为大家介绍PCA——什么是主成分。

作者:叶韵来源:机械工业出版社|2017-11-16 18:07

2.3.8  PCA——什么是主成分

既然高维度带来了如此多的灾难,一个很自然的想法就是降低维度,然后在低维度下解决问题。比如2.3.7节里提到的x'=f(x),如果x'相对于x是一个维度很低的向量,则相当于达到了降维的效果。关于降维,先举一个最简单的例子,即主成分分析(Principal Component Analysis,PCA)

考虑如下的协方差矩阵对应的高斯分布的样本,如图2-33所示。

可以看到,因为x和y轴有相关性,所以样本呈现出沿着y=x方向分布的趋势。如果用一个椭圆将样本“圈”起来,则样本的偏差最大的方向是沿着椭圆的长轴,最小的方向是沿着椭圆的短轴。所以在这个例子中,可以认为沿着长轴的方向就是数据变化剧烈程度的主要方向,稍微正式些的说法就是数据在这个方向上的投影拥有最大的方差,这个方向也就是主成分所在的方向。而短轴所指的方向,同时也是和长轴正交的方向,就是在这个二维例子中数据变化剧烈程度最小的方向。


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