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2.3.3 高维空间中的距离

《深度学习与计算机视觉:算法原理、框架应用与代码实现》第2章 深度学习和计算机视觉中的基础数学知识,本章会尽量从定性的角度讲解一些与深度学习、计算视觉紧密联系的基础数学概念,不一定会很严谨细致,但力求简单、形象。本节为大家介绍高维空间中的距离。

作者:叶韵来源:机械工业出版社|2017-11-16 17:58

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2.3.3  高维空间中的距离

首先还是考虑n维超立方体中的均匀采样,先考虑低维情况,从二维开始,我们来计算一下均匀分布的样本到原点的欧式距离的分布。因为是均匀分布,所以样本到原点距离的累积分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF)分布实际上可以看作是随着圆形半径的扩大,正方形内部的圆的面积占正方形面积的比,因为圆和正方形都是沿着x轴和y轴对称,所以实际计算的时候,为方便我们可以只考虑第一象限内的单位正方形内的情况,如图2-26a所示。

在图2-26a的右图中,方形面积为1,我们用l(r)表示弧长在单位正方形内的部分,则CDF为:

因为F(1)就是正方形面积,所以样本到原点距离的概率密度函数(Probability Density Function,PDF)就简化为

计算分为两种情况,一种是r≤1时,如图2-26b所示,很简单就是直角对应的弧长,也就是圆周长的1/4,等于πr/2。当r>1时,如图2-26c所示,弧长为2θr,而cos(π/4-θ)=1/r,所以二维情况下,正方形内均匀采样的样本到原点距离的分布如下:

对于其他维度的情况,也可以分为在超球体内和超球体外的不同区间分别求出分布,不过比起二维情况要复杂得多,我们不再花时间在公式上,直接来看看二维~四维情况均匀采样的样本到原点距离的概率密度分布,如图2-27所示。


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