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2.3.2 香农容量公式

《无线通信网络与系统》第2章信号传输基础,本章的目的是使没有或者具有很少数据通信背景知识的读者能够对本书所包含的内容有一个初步的认识。在本章的最后,我们为感兴趣的读者提供了参考资料以便进行更深入的学习。本节为大家介绍香农容量公式。

作者:朱磊/许魁 译来源:机械工业出版社|2017-11-16 15:35

2.3.2 香农容量公式

奈奎斯特公式表示,在其他条件相同的情况下,带宽扩大一倍,数据速率就扩大一倍。现在我们考虑数据速率、噪声和误码率之间的关系。噪声的存在可以腐蚀1比特甚至更多的信息。如果增加数据速率,则每比特所占的时间变得更短,那么在同样噪声情况下将有更多的信息比特被影响。因此,在噪声水平一定的情况下,数据速率越大,误码率就越大。

图2-9所示是噪声对数字信号造成影响的一个例子。这里的噪声是由一个相对适中水平的背景噪声加上偶然出现的峰值大噪声叠加构成的。数字数据可以通过对接收到的波形进行每比特一次的采样来恢复。从图中可以看出,噪声偶尔足以将1变成0或者将0变成1。

所有这些概念可以由数学家克劳德·香农提出的香农公式整齐地整合在一起。正如我们刚才说明的,数据速率越高,非期望的噪声可以造成的损伤就越多。对于给定的噪声水平,我们期望能够通过增强信号强度来提高噪声存在条件下正确接收数据的能力。在这个推理中涉及的关键参数是信噪比(SNR,或S/N) 有些文献用SNR,有些用S/N。在某些情况下,一些无量纲的量表示成SNR或者S/N,以分贝的量表示成SNRdb或者(S/N)db。另一些用SNR或者S/N表示分贝量纲。本文用SNR和SNRdb来表示。,它是在传输中的某一个特定点呈现出的信号功率和噪声功率的比值。由于接收端需要对接收信号进行处理并且消除有害噪声,所以这个比值通常需要在接收端进行测量。为方便起见,这个比值经常用分贝(dB)来描述:SNRdB=10log10信号功率噪声功率它表示期望信号超过噪声水平的分贝数量。高信噪比意味着高的信号质量。

信噪比在数字传输系统中是一个非常重要的参数,因为它决定着系统可达数据速率的上界。香农定理揭示了最大信道容量C=Blog2(1+SNR)这里C表示信道容量,单位为比特/秒(bit/s),B表示信道带宽,单位为赫兹(Hz)。香农公式给出了信道的最大可达速率,而实际系统中能够达到的速率要低得多。原因之一是,香农公式假设噪声是白噪声(热噪声),脉冲噪声没有计入,并且衰减失真和时延失真也没有考虑。各类噪声和失真将在第6章中讨论。

例2.1 下面我们考虑一个涉及奈奎斯特方程和香农公式的例子。假设信道的频谱为3MHz~4MHz,信噪比SNRdB为24dB。那么B=4MHz-3MHz=1MHz

SNRdB=24dB=10log10(SNR)

SNR=251根据香农方程,C=106×log2(1+251)≈106×8=8Mbit/s这是一个理论上限,并且我们也说过,这个上限是不可能达到的。但现在假设我们可以达到这个上限,根据奈奎斯特方程,需要多少信号电平?我们有C=2Blog2M

8×106=2×(106)×log2M

4=log2M

M=16前面给出的信道容量公式称为无差错信道容量。香农证明了,如果信道实际信息速率低于无差错信道容量,那么理论上有可能通过使用合适的信号编码方法实现在该信道上的无差错传输。遗憾的是,香农理论并没有给出一个找到这种编码的方法,但它确实提供了一个衡量实际通信方案性能的准绳。

从上述方程得出的其他结论对我们来说可能也是有帮助的。对于给定噪声水平,我们可以通过增大信号强度或者增大带宽来提高数据速率。然而,随着信号强度的增强,非线性对系统的影响也会增强,这将导致互调噪声的增多。还需要注意的是,由于我们假定噪声是白噪声,所以带宽越宽,系统引入的噪声就越多。因此,当带宽B增加时,信噪比SNR会下降。


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