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2.1.9 非线性变换

《深度学习与计算机视觉:算法原理、框架应用与代码实现》本书全面介绍了深度学习及计算机视觉中最基础的知识,并结合最常见的应用场景和大量实例,带领读者进入丰富多彩的计算机视觉领域。作为一本“原理+实践”教程,本书在讲解原理的基础上,通过有趣的实例带领读者一步步亲自动手,不断提高动手能力,而不是枯燥和深奥原理的堆砌。本节为大家介绍非线性变换。

作者:叶韵来源:机械工业出版社|2017-10-23 12:12

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2.1.9  非线性变换

通过2.1.8节我们知道如果是线性不可分的样本,通过线性变换到更高维的空间后,仍然是线性不可分的。但是注意到,低维的样本变换到更高维空间后,事实上仍处在原来维度大小的一个超平面上。如图2-18所示的例子,二维空间中所有的样本在变换到三维空间后还是处在一个二维平面上,但是和二维情况不同的是,在二维空间内,无论如何都不能改变样本的分布,而在三维空间内却多出了一个维度!下面来考虑如图2-19a的情况,在垂直二维x-y平面的方向上增加第三个维度z。

显然是线性不可分的,一个很自然的想法是通过非线性变换得到一个z轴的值,来考虑如下的非线性变换:

得到的结果在三维空间中如图2-19b所示,如果只看z轴,如图2-19c所示。可以看到,无论是只考虑非线性变换后在低维空间的效果(图2-19c)还是同时考虑到非线性变换和高维空间的效果(图2-19b),都有无数个超平面可以轻松地将样本分开。在图2-19b和图2-19c中分别标出了z=0.1所在的分界作为例子。

注意到因为图2-19a中的样本中心是在(0.5,0.5),所以在非线性变换时需要对x和y分别减去0.5。这一过程可以看作是为了能让非线性变换起到最好的效果而做的仿射变换,所以当遇到线性不可分的样本,就可以考虑先做仿射变换,然后进行非线性变换。如果效果不好呢?可以考虑更灵活的非线性变换,更高的维度甚至到无限维,SVM里的核方法就含有这一思想。或者可以考虑再来一次仿射变换+非线性变换,至此神经网络呼之欲出了,这部分内容在后面我们再详细探讨。

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