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1.2.3 级数

《数据结构与算法分析:Java语言描述(原书第3版)》第1章引论,在这一章, 我们阐述本书的目的和目标并简要复习离散数学以及程序设计的一些概念。本节为大家介绍级数。

作者:冯舜玺/陈越 译来源:机械工业出版社|2016-04-13 10:32

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1.2.3 级数

最容易记忆的公式是


在第二个公式中,  如果0<A<1, 则

当N趋于∞时该和趋向于1/(1-A), 这些公式是“几何级数”公式。

我们可以用下面的方法推导关于∑∞i=0Ai(0<A<1)的公式。令S是其和。 此时

如果我们将这两个方程相减(这种运算只允许对收敛级数进行), 等号右边所有的项相消, 只留下1:

因此, S=2。

分析中另一种常用类型的级数是算术级数。任何这样的级数都可以从基本公式计算其值。

例如, 为求出和2+5+8+…+(3k-1), 将其改写为3(1+2+3+…+k)-(1+1+1+…+1), 显然, 它就是3k(k+1)/2-k。另一种记忆的方法则是将第一项与最后一项相加(和为3k+1), 第二项与倒数第二项相加(和也是3k+1), 等等。由于有k/2个这样的数对, 因此总和就是k(3k+1)/2, 这与前面的答案相同。

现在介绍下面两个公式, 不过它们就没有那么常见了。

当k=-1时, 后一个公式不成立。此时我们需要下面的公式, 这个公式在计算机科学中的使用要远比在数学其他科目中使用得多。数HN叫作调和数, 其和叫作调和和。下面近似式中的误差趋向于γ≈0.57721566, 称为欧拉常数(Euler’s constant)。

以下两个公式只不过是一般的代数运算:


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