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1.6 常见函数及其图像(1)

《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容,第1章讲述函数、图像和直线。本节说的是常见函数及其图像。

作者:杨爽 赵晓婷 高璞 译来源:人民邮电出版社|2010-08-18 10:52

1.6 常见函数及其图像

下面是你应该知道的最重要的方程.

(1)多项式 有许多函数是基于x的非负次幂建立起来的. 你可以以1、x、x2、x3等为基本项,然后用实数同这些基本项做乘法,***把有限个这样的项加到一起. 例如,多项式f(x)=5x4?4x3+10是由x4的5倍加x3的?4倍加10而形成的. 你可能也想加中间的基本项x2和x,但是由于它们没有出现,所以我们可以说零倍的x2和零倍的x. 基本项xn的倍数叫做xn的系数. 例如,刚才的多项式x4、x3、x2、x和常数项的系数分别为5、?4、0、0和10. (顺便问一下,为什么有x和I 的形式?这两项看上去与其他项不同, 但实际上是一样的, 因为 x = x1;1 = x0.)***的幂指数n(该项系数不能为零) 叫做多项式的度数. 例如上述多项式的系数为 4, 因为不存在比 4大的 x的幂指数. 度数为 n的多项式的通式的数学写法为:

 

其中 an为 xn的系数, an?1为 xn?1的系数, 以此类推, 直到***一项 a0的系数为 1.

因为 xn是所有多项式的基本项, 你应该知道它们的图像是什么样的. 偶次幂的图像之间是非常类似的,同样奇次幂的图像之间也很类似. 图1-15是从x0到x7的图像.

 

一般的多项式的图像是很难画的. 除非是很简单的多项式,否则x轴的截距都很难找到. 但是多项式最左端和最右端的走势是很容易判断的. 这是由***度数的项的系数决定的,该系数叫做主导系数. an就为上述多项式通式的主导系数. 例如,我们刚才提到的5x4?4x3+10多项式,5为它的主导系数. 实际上,我们只需考虑主导系数正负以及多项式度数的奇偶就能决定图像两端的走势了. 所以对于图像两端的走势共有如下 4种情况,如图 1-16所示.

 

上述图像的中间部分是由多项式的其他项决定的. 图像仅仅准确地显示出了左右两端的走势. 例如多项式 5x4?4x3+10同最左边的图像很类似, 因为 n = 4为偶数, an=5为正数.

我们讨论一下度数为 2 的多项式, 又叫二次函数. 不用传统的写法 p(x) =a2x2+a1x+a0,我们用一种更容易的写法来表达二次函数p(x)=ax2+bx+c.根据判别式的正负可以决定二次函数到底有二个、一个还是没有实数解. 通常我们用希腊字母¢来表示判别式¢=b2?4ac.共有三种可能性. 情况一:¢>0,有两个不同的解; 情况二:¢=0, 只有一个解, 也可以说有两个相同的解; ¢<0, 在实数范围内无解.对于前两种情况解为:

 

注意该表达式根号下为判别式. 二次函数的一个重要技术是配方.下面我用实例说明. 考虑二次函数2x2?3x+10.***步是把二次项的系数提出来2μx2?32x+5?.这时该二次函数就变为二次项系数为 1 的函数. 接下来, 我们考虑 x 的系数 ?32,被 2 除得 ?34,再平方得916.我们希望系数为916而不是 5, 下面我们做一些脑力练习:

 

为什么要加一次916,又减一次916呢?因为这样的话,前三项为平方形式μx?34?2.这时,我们得到:

 

接下来,只剩***一小步 5?916=7116.***恢复系数 2,我们有:

  

可以发现, 这是一种更好的二次函数形式. 你一定要学会如何配方, 因为我们要在第 18和第 19章用这个技巧.

(2) 有理函数这种形式的函数, 其中 p 和 q 为多项式, 叫做有理函数q(x)有理函数变化多样,它的图像根据p和q 两个多项式的变化而变化. 最简单的有理函数是多项式本身, 即 q(x) 为 1 的有理函数. 另一个简单的例子是 1=xn, 其中 n为正整数. 我们看图 1-17中一些有理函数的图像.

  

奇次幂的图像之间类似,偶次幂的图像之间也很类似. 这些图像很值得一看.

(3)指数函数和对数函数 知道指数函数的图像是很必要的. 例如,下图是y=2x的图像.

y = bx(b > 1)的图像与上图很类似. 有几点值得注意. 首先, 该函数的定义域为全体实数; 其次, y 轴的截距为 1 并且值域为大于零的实数; ***, 左端的水平渐近线为 x 轴. 再强调一下, 该图像非常接近于 x 轴, 但永远不会接触到 x 轴,无论在你的图形计算器上多么接近. (在第 3章的学习中,我们会再次见到渐近线.)y=2?x与 y=2x关于 y 轴对称,如图 1-18所示.

  

如果底小于1,情况会是怎样?例如,考虑y=μ12?x的图像.我们发现μ12?x=1=2x= 2?x,因为对于任意 x;2?x与μ12?x均相等, 所以图 1-18 中 y = 2?x的图像也是 y=μ12?x的图像.同理可得任何 y=bx(0<b<1)的图像.

由于y=2x的图像满足水平线检验,所以该函数有反函数. 这个反函数就是以2为底的对数 y=log2(x).以直线 y=x为对称轴, y=log2(x)如图 1-19所示.

  

注意,它支持了我之前所说的负数及0不能求对数的说法.该函数的定义域为 (0;+1),值域为全体实数, y 轴为垂直渐近线. logb(x)(b > 1)的图像都是很相似的. 对数函数在微积分的学习中是很重要的,你一定要学会怎样去画上面的图像.我们将在第9章学习对数函数的特性.

(4)三角函数 三角函数很重要,所以整个下一章将对其作详细的介绍.

(5)带有绝对值的函数 我们研究由 f(x)=jxj 定义的绝对值函数. 该函数的定义为:

  

另一个研究这个绝对值函数的方法是数轴上0和x的距离. 更概括地说,你也应该知道:

   

例如,假设你需要去找不等式 jx?1j63在数轴上的覆盖区域.我们能解释该不等式为x和1之间的距离小于或等于3. 也就是说,我们要找到所有与1之间的距离不大于 3的点. 所以我们画一个数轴并标记 1的位置,如图 1-20所示:

   

【责任编辑:董书 TEL:(010)68476606】

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