15.3.3 用MATLAB求解优化问题

15.3.3  用MATLAB求解优化问题

如表15-1所示，MATLAB软件有多种内建的函数可以完成最优化求解。下面两个例子将说明它们是如何使用的。

表15-1  实现最优化的MATLAB函数

例15.5  使用MATLAB求解一维优化问题

问题：使用MATLAB中的fminbnd函数在[0,4]区间中求

的最大值。第13章使用了几种方法解这个问题，该问题的解为 。

解：首先新建一个M-文件来表示该函数。

因为我们关注的是最大值，而fminbnd函数是求最小值的，所以将函数取反。然后，使用fminbnd函数求解：
注意，该函数还可以设置参数。一个很有用的参数是设置优化选项，比如误差限(Error Tolerance)或最大迭代次数。设置这些参数是通过optimset函数实现的(在前面的例7.6中使用过该函数)，其一般格式为：

MATLAB有许多处理多维函数的功能。第13章提到，一维搜索的图形类似于过山车，而二维搜索的图形类似于山峰和山谷。在下面的例子中，MATLAB的画图功能为可视化这类函数提供了一个方便的方式。

例15.6  绘制二维函数的图形

问题：使用MATLAB的画图功能绘制如下函数的图形，以便以可视方式评估在区间?2 ≤ x1 ≤ 0和0 ≤ x2 ≤ 3中的最小值。

解：下面的脚本会生成函数的等高线图和网格图：
如图15-8所示，这两个图都指出，该函数在x1 = -1，x2 = 1.5处达到最小值，此时的f (x1, x2) 在 0到1之间。
标准MATLAB有一个函数fminsearch，可用于确定多维函数的最小值。它基于Nelder-Mead法，Nelder-Mead法是一个直接法，它仅使用函数值(不需要计算导数)，来处理不光滑的目标函数。其语法的简单表达如下：

[xmin, fval] = fminsearch(function,x1,x2) 

其中xmin和fval是最小值点的位置和值，function是要计算的函数名，x1和x2是要搜索的区间。

例15.7  使用MATLAB求解多维优化问题

问题：用MATLAB的fminsearch函数求解例15.6中的简单函数

的最大值，初始估计值为x=-0.5，y = 0.5。

解：使用fminsearch函数求解：

>> f=@(x) 2+x(1)-x(2)+2*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2;  
>> [x,fval]=fminsearch(f,[-0.5,0.5])  
x =  
   -1.0000 1.5000  
fval =  
0.7500 

这个函数与上面使用的fminbnd函数一样，也可以指定优化过程中的附加参数。比如，可以使用optimset函数限制最大迭代次数：

>> [x,fval]=fminsearch(f,[-0.5,0.5],optimset('MaxIter',2)) 

结果为：

Exiting: Maximum number of iterations has been exceeded  
- increase MaxIter option.  
Current function value: 1.225625  
x =  
-0.5000 0.5250  
fval =  
1.2256 

从结果可知，在迭代次数上的严格限制使函数没有达到最大值，而优化求解被迫终止。

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