3.3 分析解决方案

作者: John Mongan等著，王海鹏译 出处:机械工业出版社华章公司 　2008-02-20 13:57　   砖    好    评论  条 　进入论坛

阅读提示：《程序员面试攻略》提供了50个面试场景，并且深入分析了各种解决方案。第三章主要讲的是编程问题的解答思路，本小节为分析解决方案。

3.3   分析解决方案

当您回答了问题之后，面试考官可能会问您实现的效率。通常，您需要将您的实现与其他可能的解决方案进行比较，说明各种方案的折衷考虑，并说明每一种解决方案最适合的情况。常见的问题是关于内存或空间的使用，特别是如果使用了递归的话。

深刻理解时间复杂度分析将给面试考官留下深刻的印象。时间复杂度分析是一种运行时间的分析，用于测量算法在时间方面的效率，即运行的时间与输入的规模之间的函数关系。它不是正式的基准测试，只是确定算法的效率的一种简便的方法。

本书中包含的大多数编码问题解决方案都带有运行时间分析，帮助您强化对算法的理解。

分析两个例子 让我们从一个时间复杂度分析的例子开始。请考虑一个简单的函数，它返回一个非负数组中存放的最大值。数组的大小为n。

至少有两种容易的方法来实现这个函数。在第一种方法中，您在函数遍历数据的过程中记住当前最大的值，在完成遍历时返回该值。我们把这种实现取名为“CompareToMax”，它看起来是这样的： 第二种方法将每一个值与所有其他的值进行比较。如果所有其他的值都小于或等于该值，那它就是最大的值。我们把这种实现取名为“CompareToAll”，它看起来是这样的。

这两个函数都能正确地返回最大值。哪一个更有效率？您可以试着运行基准测试，但对每一种可能的方式进行基准测试是不现实的（也是无效率的）。您需要在实现算法之前就能够预测它的性能。时间复杂度分析让您能够做到这一点：比较并预期不同算法的性能。

时间复杂度分析为何有效 在时间复杂度分析中，输入的规模假定是n。在这个例子中，n就代表数组中元素的个数。在其他问题中，n可能代表链表的结点数、一个数据类型的位数、或哈希表中的项数等。在弄明白n对于您的输入来说是什么含义之后，必须确定这n个输入项被检查了多少次。“检查”是一种泛指，因为对于不同的算法来说，操作是不同的。一般来说，检查可能是将输入值加到一个变量中，创建新的输入项，或删除输入值。在时间复杂度分析中，这些操作被认为是等价的。在CompareToMax和Compare ToAll中，“检查”意味着将数组的一个值与另一个值进行比较。

在CompareToMax中，每个数组元素都与最大值比较一次。因此，这n个输入项每个都会被检查一次，结果是进行了n次检查。这可以记作O(n)，通常称为“线性运时间”：运行算法所需的时间随着输入项个数的增加呈线性增长。 您可能注意到，除了对每个元素检查一次之外，还有一次确保数组不为空的检查，以及一个初始化curMax变量的步骤。似乎O(n + 2)更能准确地反映这些额外的操作。但是时间复杂度分析反应的是渐近的运行时间，即当n变得非常大时运行时间的极限。因为n趋向于无穷大，n和n + 2之间的差别就不重要了，类似地，对于运行n + n2次的算法，当n变得很大时，n2和n + n2之间的差别是可以忽略的。因此，在时间复杂度分析中，您只要留下最高幂次项，即当n变得非常大时最大的那一项。因此，CompareToMax的时间复杂度是O(n)。

CompareToAll的分析要更难一些。首先，您必须假定最大的数字出现在数组的什么位置。现在，假定最大的元素出现在数组的末尾。在这种情况下，每个元素都与其他n个元素进行比较。因此有n×n次检查，它是时间复杂度为O(n2)的算法。 前面的分析研究表明，CompareToMax的时间复杂度是O(n)，CompareToAll的时间复杂度是O(n2)。这就是说，当数组增长时，CompareToAll的比较次数要比CompareToMax的比较次数大很多。假定数组有30 000个元素，CompareToMax的比较次数的规模在30 000次，而CompareToAll的比较次数规模在900 000 000次。您可以预计CompareToMax要快很多，因为它要快30 000倍。实际上，一次CompareToMax的基准测试时间是0.01秒，而CompareToAll的时间是23.99秒。

时间复杂度分析中最快的结果是O(1)，通常称为“常数运行时间”。不论输入的规模是多少，对于具有常数运行时间的算法来说，其执行时间总是一样的。

最好情况、平均情况和最坏情况

您可能认为这种比较对于CompareToAll来说是不公平的，因为最大值是在最后出现的。确实如此，这提出了一个重要问题，即运行时间的最好情况、平均情况和最坏情况。对CompareToAll的分析是最坏的情况：最大值在数组的末尾。但请考虑平均情况，最大值在中间。检索结束时，只检查了n/2次，因为最大值位于中间。这会导致n(n/2) = n2/2次检查。这似乎得到了复杂度为O(n2/2) 的运行时间。但是请考虑1/2这个因数的意义。检查每个值的实际时间基本上取决于代码翻译成的指令，以及CPU执行这些指令的时间。因此1/2也没有太大的意义。甚至可能会遇到O(n2)的算法执行得比O(n2/2)的算法要快。在时间复杂度分析中，您可以将所有的常数因子去掉，因此CompareToAll的平均情况比最坏情况也好不了多少，仍是O(n2)。

CompareToAll的最好情况要比O(n2)好。在这种情况下，最大值在数组开始处。最大值仅与其他值进行一次比较，所以结果是O(n)。

请注意，在CompareToMax中，最好情况、平均情况和最坏情况是一样的。不论数组中的值如何排列，算法的时间复杂度总是O(n)。

请向面试考官询问他们最感兴趣的场景是什么。有时候问题本身就包含了一些线索。有些排序算法对于无序的数据的时间复杂度很差，但对于差不多排好序的数据却很适合。

如何进行时间复杂度分析

进行时间复杂度分析的一般过程如下：

1. 弄清楚输入是什么以及n代表什么。
2. 用n来表示该算法执行的操作的次数。
3. 仅保留最高幂次的项。
4. 去掉所有的常数因子。

对于您遇到的测试算法，只要您正确地确定了与输入规模相关的操作，时间复杂度分析应该很简单。

优化与时间复杂度分析

算法优化并不一定会带来总体运行时间的预期变化。请考虑对CompareToAll进行下面的优化：不是将每个数字与其他数进行比较，而是将每个数字与数组中排在它后面的数字进行比较。实质上，排在当前数字之前的数字已经与当前数字比较过了。因此，如果只将当前数字与它之后的数字进行比较，这个算法仍然是正确的。

对于这个实现，最坏的情况是怎样的？第一个数字与n个数字进行了比较，第二个数字与n-1个数字进行了比较，所以总的比较次数是n + (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + … + 1。这是一个很普通的结果，这个数列的结果可以表示为n2/2 + n/2。n2是最高幂次的项，所以这个版本的算法的时间复杂度在最坏的情况下仍然是O(n2)。对于输入值很大的情况，您对算法所做的改动对运行时间没有产生实质性的影响。

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